Herzlich willkommen

Gn314 ist die Homepage rund um meinen Unterricht und meine sonstigen Aktivitäten rund um das Thema Schule. Diese Homepage ist eine Art digitales Gedächtnis für Arbeitsblätter und alle andere Arten von PDFs, die ich für euch erstellt habe und euch zur Verfügung stellen möchte und darf. Wenn etwas fehlt, oder gar ein Fehler aufgetreten ist, so gebt mir einfach eine kurze Rückmeldung.

LaTeX

Ich erstelle meine Arbeitsblätter (und auch fast alles andere) mit Hilfe des TeXnicCenter, falls ihr es mir gleich tun wollt, so solltet ihr folgende Software downloaden und installieren:

  1. TexLive (https://www.tug.org/texlive/)
  2. Sumatra (https://www.sumatrapdfreader.org/free-pdf-reader-de.html)
  3. TeXnicCenter (http://www.texniccenter.org/download/)

Ich empfehle immer mit einem "Projekt" zu arbeiten. Der Einstig sollte euch etwas erleichtert werden. Leider kann ich keine .tex-Dateien hochladen, daher wird nun etwas getrickst!

 

  • Erstellt ein neues Projekt und kopiert folgendes dort hinein 

\input{ES}

 

\title{Fadenpendel}

\author{Physikkurs Hr. Gohn}

 

 

\begin{document}

 

\Huge

\textbf{Das Fadenpendel}

 

\large

\textit{Physikkurs Hr. Gohn}

 

\normalsize \hfill \today

 

\input{Versuchsziel}

\input{Theorie}

%\input{Messprinzip}

%\input{Formeln}

%\input{Messwerte}

%\input{Auswertung}

%\input{Fehlerbetrachtung}

%\input{Zusammenfassung}

 

\end{document}

  • Erstellt ein zusätzliches neues Dokument,
  • Speichert das neue Dokument als "ES"  mit der Kodierung "UTF-8" und kopiert folgenden Text dort hineine:

\documentclass[a4paper, 10pt,twocolumn]{scrartcl}

\usepackage[ngerman]{babel}

\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[T1]{fontenc} 

 

\parskip 8pt % Absätze lassen 8pt Platz

\parindent 0pt % Kein Einrücken der Absätze

 

\usepackage{graphicx}%Zum  Einbinden  von  Grafiken

\usepackage{tabularx}

\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb}%Mathe

\usepackage{lmodern,dsfont} %N, R, C usw

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=black,filecolor=red,urlcolor=blue,]{hyperref}

\usepackage{eurosym}

\usepackage{multirow} 

\usepackage{multicol}

\usepackage{wasysym} 

\usepackage{enumerate}

\usepackage{enumitem}

\usepackage{pdfpages} %includepdf

\usepackage{icomma}

 

 

\usepackage{pgf,tikz}

\usepackage{tikzscale}

\usepackage{filecontents}

\usetikzlibrary{shapes.multipart}

\usepackage[europeanresistors,americaninductors]{circuitikz}

\usetikzlibrary{arrows.meta}

\usetikzlibrary{positioning}

 

\usepackage[a4paper,left=2.5cm,  right=1cm, top=1.75cm,  bottom=1.25cm]{geometry}

 

% Farben

\definecolor{orange}{RGB}{255,147,0}

\definecolor{gn314}{RGB}{41,128,185}

 

  • Erstellt nun analog das neue Unterdokument Versuchsziel

\section{Versuchsziel}

 

Es wird die Auswirkung der Pendellänge $l$, der Auslenkung $y_{max}$ und der Masse $m$ auf die Periodendauer $T$ untersucht.

 

  • Nun noch "Theorie"

\section{Theorie}

 

Unter einer harmonischen Schwingung versteht man eine Schwingung, deren zeitliche Auslenkung $y$ sich durch eine Sinusfunktion der Form

 

\begin{equation*}

y(t)=\sin(\omega t)

\end{equation*}

 

beschreiben lässt. Dabei ist $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}$ die Kreisfrequenz. Es ergeben sich somit die Geschwindigkeit $v$ und die Beschleunigung $a$

 

\begin{align*}

v(t)=\dot{y}(t)&=\omega\cdot\cos(\omega t)\\

a(t)=\dot{v}(t)=\ddot{y}(t)&=-\omega^2\cdot\sin(\omega t)\\

\end{align*}

 

Insbesondere ist somit 

\begin{equation*}

F_r=m\cdot a=-m\cdot\omega^2\cdot\sin(\omega t)=-m\cdot\omega^2\cdot y(t)

\end{equation*}

 

Es wirkt also stets\footnote{außer in der Ruhelage selbst} eine rücktreibende Kraft $F_r$, welche entgegen der Auslenkung (also in Richtung der Ruhelage) gerichtet und proportional zu ihr ist. Mit der Kenngröße $k=m\omega^2$ (Proportionalitätsfaktor) kann man also schreiben

 

\begin{equation*}

F_r=-k\cdot y(t) 

\end{equation*}

 

Stellt man die obige Gleichung der Drehfrequenz nach der Periodendauer $T$ um, so ergibt diese sich zu

 

\begin{align}

T&=2\pi\cdot\frac{1}{\omega}\nonumber\\

&=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\label{gl:T-allg}

\end{align}

 

Für jede Art von harmonischer Schwingung, muss nun "`nur"' noch die Kenngröße $k$ ermittelt werden. Betrachtet man sich die Geometrie des Fadenpendels etwas genauer und zerlegt die Gewichtskraft in ihrer radiale und tangentiale Komponenten, so gelten folgende zwei Beziehungen:

 

\begin{align}

  \sin(\alpha)&=\frac{F_{ta}}{F_G}=\frac{F_{ta}}{mg}\label{gl:sin1}\\

\sin(\alpha)&=\frac{x}{l}\label{gl:sin2}

\end{align}

 

\begin{center}

\begin{tikzpicture}

\clip (-2.5,-6.5) rectangle (3,.5);

\draw[black!10] (-2,0) grid (2,-4);

\fill[black!25] (-2,0) rectangle (2,.25);

\draw (0,0) -- (2,-4);

 

\fill (2,-4) circle (1mm);

\draw[dotted,thick] (0,0) circle (45mm);

\draw[dashed] (-2,-4) -- (2,-4);

\draw[dashed] (0,0) -- (0,-4.5);

%Kräfte

\draw[->,>=latex, color=orange, rotate around={-63:(2,-4)}] (2,-4) -- (4,-4);

\draw[->,>=latex, color=orange, rotate around={-63:(2,-4)}] (2,-4) -- (4,-5);

\draw[->,>=latex, color=orange, rotate around={-63:(2,-4)}] (2,-4) -- (2,-5);

\draw[dashed, color=orange, rotate around={-63:(2,-4)}] (4,-4) -- (4,-5);

\draw[dashed, color=orange, rotate around={-63:(2,-4)}] (2,-5) -- (4,-5);

%Winkel

\draw[color=gn314] (0,-1) arc (-90:-63:1cm);

\draw[color=gn314] (2,-5) arc (-90:-63:1cm);

%Beschriftung

\node[left] at (1,-2) {$l$};

\node[above] at (1,-4) {$x$};

\node[below] at (1,-4) {$y$};

\node[right] at (2,-4) {$m$};

 

\node[right, color=orange] at (2,-5.6) {$F_G$};

\node[right, color=orange] at (2.4,-5) {$F_{ra}$};

\node[color=orange] at (1.6,-4.5) {$F_{ta}$};

 

\node at (.15,-.75) {$\alpha$};

\node[color=orange] at (2.2,-4.75) {$\alpha$};

 

\end{tikzpicture}

\captionof{figure}{Fadenpendel}\label{Fadenpendel}

\end{center}

 

Setzt man man nun (\ref{gl:sin1}) und (\ref{gl:sin2}) gleich und löst nach $F_{ta}$ auf, so erkennt man, das $F_{ta}=\frac{mg}{l}\cdot x$ proportional zu $x$ ist. $F_{ta}$ ist offensichtlich die rücktreibende Kraft und für kleine Auslenkungen $y$ sind der Kreisbogen $y$ und $x$ nahezu gleich und somit kann man als Näherung für kleine Winkelweiten $\alpha$ erkennen:

 

\begin{equation}

F_r(t)=-k\cdot y(t) \text{\hspace{3ex} mit } k=\frac{mg}{l}

\end{equation}

 

Setzt man dies nun in Gleichung (\ref{gl:T-allg}) ein, so ergibt sich für ein Fadenpendel eine Periodendauer von

 

\begin{equation}

T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}

\label{eq:T}

\end{equation}